상한과 하한 (Supremum and Infimum)
한 줄 정의: 집합의 상계 중 가장 작은 값을 상한(supremum), 하계 중 가장 큰 값을 하한(infimum)이라 하며, 실수의 완비성을 나타내는 핵심 개념입니다.
쉽게 풀면
집합 {0.9, 0.99, 0.999, …}에는 가장 큰 원소가 없지만, 모든 원소보다 크거나 같은 수 가운데 가장 작은 수 1은 있습니다. 이 1이 상한입니다. 최댓값이 없을 때도 '위쪽 끝'을 정확히 말할 수 있게 해 주는 개념입니다.
왜 중요한가
실수에서는 위로 유계인 공집합이 아닌 집합이 항상 상한을 가진다는 성질(완비성 공리)이 해석학 전체의 바탕입니다. 수열의 수렴, 중간값 정리, 적분의 정의가 모두 여기에 기댑니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"집합 {x∈ℚ : x²<2}는 유리수 안에서는 상한이 없지만 실수 안에서는 상한 √2를 가진다."
유리수와 실수의 완비성 차이를 보여 주는 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
상한 s는 두 조건으로 특징지어집니다. 모든 원소가 s 이하이고, 어떤 ε>0에 대해서도 s−ε보다 큰 원소가 존재합니다. 상한이 집합에 속하면 그것이 최댓값입니다. 위로 유계가 아니면 sup=+∞로 쓰는 관례가 있습니다. 수열의 상극한·하극한(limsup, liminf)도 상한과 하한으로 정의됩니다.
주의할 점
최댓값·최솟값은 집합의 원소여야 하지만 상한·하한은 집합 밖에 있을 수 있습니다. 약어가 같은 다른 분야 용어(예: 사회복지의 서비스이용자참여)와는 무관합니다.