스토니 식 (Stoney Equation)
쉽게 풀면
얇은 기판 위에 박막을 입히면 막이 수축하거나 팽창하려는 힘 때문에 기판 전체가 살짝 휩니다. 스토니 식은 이 휜 정도, 즉 곡률을 재면 막에 걸린 응력을 계산할 수 있게 해 주는 식입니다. 증착 전후의 곡률 차이를 레이저로 측정하는 것만으로 응력을 알 수 있어 매우 편리합니다. 기판이 볼록해지면 막에 압축응력이, 오목해지면 인장응력이 걸린 것으로 해석합니다.
왜 중요한가
박막의 잔류응력은 막의 박리, 균열, 소자 특성 변화의 주된 원인이어서 공정 조건을 잡을 때 반드시 관리해야 합니다. 이 식 덕분에 막을 떼어내지 않고도 비파괴적으로 응력을 추적할 수 있어, 반도체·광학 박막 공정의 표준 모니터링 수단이 되었습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
공정 변수에 따른 응력 부호 변화를 곡률 측정만으로 추적한 전형적인 활용 사례입니다.
조금 더 깊게 보면
이 식은 막이 기판보다 훨씬 얇고, 응력이 막 두께 방향으로 균일하며, 변형이 작다는 가정 위에서 성립합니다. 그래서 계산 결과는 막의 평균 응력이며, 응력이 두께에 따라 크게 변하는 경우에는 두께를 바꿔가며 여러 번 측정해 분포를 추정합니다. 관계식에는 기판의 탄성 성질과 두께만 들어가고 막의 탄성계수는 필요 없다는 점이 실용적인 장점입니다. 측정된 응력은 증착 과정 자체에서 생기는 성분과, 열팽창계수 차이에서 오는 열응력 성분의 합으로 해석됩니다.
주의할 점
이 식이 주는 것은 막의 응력이지 기판의 응력이 아니며, 막이 두꺼워져 가정이 깨지면 오차가 커집니다. 또한 회절로 격자 변형을 재어 응력을 구하는 X선 방법과 달리, 곡률 측정은 비정질 막에도 쓸 수 있지만 국부 분포는 알 수 없습니다.