스털링 근사 (Stirling's Approximation)
한 줄 정의: 큰 n에 대한 n 팩토리얼의 값을 간단한 식으로 근사하는 공식입니다.
쉽게 풀면
n이 커지면 n 팩토리얼은 엄청나게 커져서 직접 계산하기 어렵습니다. 스털링 근사는 이 값을 n을 e로 나눈 것의 n제곱에 2πn의 제곱근을 곱한 식으로 근사합니다. n이 10 정도만 되어도 오차가 1퍼센트 수준이라 실용적으로 매우 정확합니다.
왜 중요한가
조합론의 계산, 통계역학의 엔트로피 유도, 이항분포가 정규분포로 근사되는 과정의 증명이 모두 이 근사에 의존합니다. 팩토리얼의 로그를 다루기 쉬운 형태로 바꿔 주기 때문에 점근적 분석에서 거의 필수적으로 등장합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"스털링 근사를 이용해 이항계수의 로그를 전개함으로써 경우의 수의 지수적 증가율을 도출하였다."
조금 더 깊게 보면
양변에 로그를 취하면 n 팩토리얼의 로그가 n log n에서 n을 뺀 값에 근사한다는 더 간단한 형태가 되며, 이는 로그의 합을 적분으로 근사해 얻을 수 있습니다. 완전한 형태는 오차항을 1/(12n) 같은 급수로 이어 가는 점근 전개이며, 항을 무한히 더해도 수렴하지 않고 일정 항까지만 정확도가 좋아지는 전형적인 점근급수입니다. 감마 함수를 통해 정수가 아닌 값으로 확장됩니다.
주의할 점
상대오차는 n이 커질수록 0에 가까워지지만 절대오차는 오히려 커지므로, 팩토리얼 값 자체의 차이가 작다는 뜻으로 읽으면 안 됩니다. 또 n이 작은 경우에는 오차가 무시할 수 없습니다.