스펙트럼 정리 (Spectral Theorem)
한 줄 정의: 실대칭행렬(복소수에서는 에르미트 행렬)은 직교(유니터리)행렬로 대각화되며 고유값이 모두 실수라는 선형대수의 정리입니다.
쉽게 풀면
대칭행렬은 특별히 '다루기 좋은' 행렬입니다. 스펙트럼 정리는 대칭행렬이면 서로 수직인 고유벡터들만으로 공간 전체를 설명할 수 있다고 알려 줍니다. 그래서 복잡한 변환도 수직 방향들로 늘이고 줄이는 것으로 이해할 수 있습니다.
왜 중요한가
주성분분석, 이차형식의 분류, 진동 모드 분석처럼 대칭행렬이 나오는 거의 모든 응용의 이론적 근거입니다. 양자역학에서 관측가능량의 고유값이 실수라는 사실도 이 정리의 일반화에 기댑니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"공분산행렬은 대칭이므로 스펙트럼 정리에 의해 직교 고유벡터로 대각화되며, 이것이 주성분의 방향이 된다."
통계에서 스펙트럼 정리를 쓰는 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
실대칭행렬 A는 A=QΛQᵀ(Q는 직교행렬, Λ는 실수 대각행렬)로 쓸 수 있습니다. 복소수에서는 정규행렬(AA*=A*A)이 유니터리 대각화 가능한 행렬과 정확히 일치합니다. 무한차원 힐베르트 공간에서는 콤팩트 자기수반 작용소, 더 일반적으로 자기수반 작용소에 대한 스펙트럼 정리로 확장됩니다.
주의할 점
행렬의 대각화는 일반적인 절차이고, 대각화 가능한 행렬이 모두 직교 대각화되지는 않습니다. 스펙트럼 정리는 대칭(에르미트)이라는 조건에서 직교 대각화가 보장된다는 특정 정리입니다.