셀마이어 방정식 (Sellmeier Equation)
한 줄 정의: 투명한 재료의 굴절률이 파장에 따라 어떻게 변하는지를 몇 개의 계수로 나타내는 경험식입니다.
쉽게 풀면
유리의 굴절률은 파장마다 조금씩 다릅니다. 셀마이어 방정식은 n²(λ) = 1 + Σ Bᵢλ²/(λ² − Cᵢ) 꼴의 식에 재료별 계수 B와 C를 넣어, 원하는 파장의 굴절률을 계산할 수 있게 해 줍니다. 유리 제조사 카탈로그에 이 계수가 실려 있습니다.
왜 중요한가
렌즈 설계 프로그램, 광섬유 분산 계산, 비선형광학의 위상정합 계산 등에서 파장별 굴절률이 필요할 때 표준적으로 쓰입니다. 새로운 결정이나 박막 재료를 측정한 논문은 결과를 셀마이어 계수로 보고하는 경우가 많습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"측정한 굴절률 데이터를 3항 셀마이어 방정식으로 피팅하여 400–1600 nm 범위에서 잔차 10⁻⁴ 이하를 얻었다."
측정값을 식에 맞춰 계수를 구했고, 그 식이 넓은 파장 범위에서 잘 맞았다는 뜻입니다.
조금 더 깊게 보면
각 항은 재료 내부의 특정 흡수 공명(자외선·적외선 영역)을 단순화한 모형에서 유래하며, Cᵢ는 공명 파장의 제곱에 해당합니다. 따라서 흡수 대역에서 떨어진 투명 영역에서 잘 맞고, 흡수 대역 근처에서는 정확도가 떨어집니다. 온도 의존성을 넣은 확장식이나 코시(Cauchy) 식 같은 더 단순한 근사식도 함께 쓰입니다.
주의할 점
계수는 측정한 파장 범위 안에서만 신뢰할 수 있으므로 범위 밖으로 외삽하면 오차가 커집니다. 아베수가 분산을 한 숫자로 요약한다면, 셀마이어 방정식은 파장 전체의 굴절률 곡선을 제공한다는 점이 다릅니다.