척도인자 (Scale Factor)

한 줄 정의: 우주 공간이 시간에 따라 얼마나 팽창했는지를 나타내는 무차원 함수(a(t))로, 프리드만 방정식의 핵심 변수이며 오늘날의 값은 관례적으로 1로 정규화된다.

쉽게 풀면

우주가 시간에 따라 얼마나 커졌는지를 나타내는 숫자로, 오늘날의 크기를 1로 놓고 과거에는 이보다 작았음을 나타낸다.

왜 중요한가

척도인자는 우주의 팽창 정도를 시간의 함수로 나타내는 무차원량으로, 프리드만 방정식을 통해 우주의 물질·복사·암흑에너지 구성 성분에 따른 팽창 역사를 계산하는 기본 변수입니다. 적색편이와 척도인자의 관계를 이용해 관측된 은하의 거리와 우주 나이를 함께 추정할 수 있습니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

Friedmann, A. (1922), "Über die Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik 10.

프리드만은 척도인자 a(t)를 도입하여 우주의 팽창 또는 수축을 시간에 따른 함수로 기술하는 방정식 체계를 확립했다.

"척도인자는 우주의 팽창 정도를 시간의 함수로 나타내며, 그 값이 커질수록 은하 간 거리가 멀어진다."

이 서술은 척도인자가 우주론에서 우주 팽창의 크기를 정량적으로 표현하는 핵심 변수로 쓰인다는 점을 보여줍니다.

조금 더 깊게 보면

척도인자는 현재 시점을 1로 정규화하는 관례를 따르며, 이는 절대적인 크기가 아니라 상대적인 팽창 비율만을 나타낸다는 점에 유의해야 합니다. 척도인자와 적색편이의 관계식은 우주가 균일하고 등방적이라는 우주론적 원리를 전제로 하므로, 국소적인 특이운동이 섞인 관측값을 보정할 때는 별도의 처리가 필요합니다. 척도인자가 시간에 따라 어떤 거듭제곱으로 자라는지는 우주를 지배하는 성분에 따라 달라, 복사 우세기에는 시간의 2분의 1제곱, 물질 우세기에는 3분의 2제곱, 암흑에너지 우세기에는 지수함수로 증가한다. 서로 다른 시대의 우세 성분이 교대하는 전환점(물질-복사 동등 시점 등)에서는 척도인자의 증가 방식이 매끄럽게 이어지도록 보정한 함수가 프리드만 방정식의 정확한 해로 쓰인다.

주의할 점

척도인자와 적색편이 사이에는 1+z = 1/a(t)라는 관계가 성립하며, 이를 혼동하면 특정 시점의 우주 크기를 잘못 계산하게 된다. 척도인자가 1이라는 것은 절대적 크기의 단위가 아니라 오늘을 기준으로 삼은 상대값이므로, 다른 시대의 척도인자를 오늘의 물리량 단위로 직접 해석해서는 안 된다. 척도인자를 이용한 계산은 우주가 균일하고 등방적이라는 이상화된 배경 위에서 이루어지므로, 은하단처럼 국소적으로 강하게 뭉친 영역의 실제 거동을 그대로 설명하지는 못한다.