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근궤적법 (Root Locus Method)

공학
한 줄 정의: 제어 시스템의 이득(gain) 값을 0부터 무한대까지 바꿔가면서, 시스템의 안정성을 결정하는 극점(pole)이 그리는 궤적을 그래프로 그려 분석하는 제어공학 기법입니다.

쉽게 풀면

에어컨 온도 조절기를 생각해봅시다. 목표 온도와 현재 온도의 차이에 반응하는 정도(이득, gain)를 너무 약하게 설정하면 온도가 잘 안 맞춰지고, 너무 강하게 설정하면 온도가 오르락내리락 진동하다가 심하면 계속 요동치는 상태(불안정)가 될 수 있습니다.

근궤적법은 바로 이 "얼마나 강하게 반응시켜야 안전한가"를 그림으로 미리 확인하는 방법입니다. 이득 값을 서서히 키워가면서, 시스템의 움직임을 결정하는 수학적인 점들(극점)이 좌표평면 위에서 어떻게 이동하는지를 선으로 그려보면, 그 선이 불안정한 영역으로 넘어가는 순간을 한눈에 알 수 있습니다.

왜 중요한가

제어기를 설계할 때는 목표 성능(빠른 응답, 오버슈트 최소화 등)과 안정성이라는 두 가지 요구를 동시에 만족시켜야 합니다. 근궤적법은 이득이라는 하나의 설계 변수를 바꿀 때 시스템의 안정성이 어떻게 변하는지를 시각적으로 보여주기 때문에, 제어기 파라미터를 정하는 실무·연구 과정에서 반복적으로 등장합니다. 로봇공학, 항공우주, 전력전자 등 피드백 제어가 필요한 거의 모든 공학 분야의 논문에서 설계 근거를 제시할 때 표준적으로 활용됩니다.

어떤 절차인가

개루프 전달함수 G(s)H(s)에 이득 K를 곱한 폐루프의 특성방정식 1 + K·G(s)H(s) = 0의 근이 K를 0에서 무한대로 키울 때 그리는 궤적을 그립니다(Evans, 1948). 손으로 그릴 때 쓰는 기본 규칙은 다음과 같습니다(Ogata, 2010).

  1. 궤적의 가지 수는 개루프 극점 수(n)와 영점 수(m) 중 큰 쪽과 같습니다.
  2. K = 0일 때 극점에서 시작하고, K → ∞에서는 영점으로 가거나 무한대로 갑니다.
  3. 실수축에서는 그 점의 오른쪽에 있는 실수 극점·영점의 개수가 홀수인 구간에 궤적이 놓입니다.
  4. 무한대로 가는 가지는 점근선을 따르며, 각도는 (2k+1)·180°/(n−m), 중심은 (극점의 합 − 영점의 합)/(n−m)입니다.
  5. 실수축에서 벗어나는 이탈점은 dK/ds = 0에서, 허수축 교차 이득은 루스(Routh) 판별이나 근을 직접 구해 찾습니다.

언제 쓰고 무엇을 얻나

가상의 예: G(s) = K / [s(s+2)(s+4)]인 단위 되먹임 계. 코드로 계산했습니다.

K폐루프 극점감쇠비 ζ(복소근이 있을 때)
1-4.11, -0.14, -1.75—
5-4.46, -0.77 ± 0.73j0.73
10-4.76, -0.62 ± 1.31j0.43
30-5.53, -0.23 ± 2.32j0.10
48-6.00, 0.00 ± 2.83j0.00
60-6.25, 0.13 ± 3.09j-0.04

얻는 것은 이득 하나를 바꿀 때 극점이 어디로 움직이는지입니다. K가 이탈점의 이득(약 3.08)을 넘으면 복소 극점이 생기고 K가 커질수록 감쇠비가 낮아지며, K = 48에서 허수축에 닿아 안정 한계가 되며, 60에서는 오른쪽 반평면으로 넘어가 불안정해집니다. 감쇠비는 원점에서 극점까지의 각도로 읽습니다(ζ = −Re / |극점|).

논문에는 이렇게 적는다

논문에서는 이렇게 쓰입니다

실제 논문에서

이 용어를 직접 쓴 국내 논문 문장을 아직 수집하지 못했습니다. 수집되는 대로 출처와 함께 싣겠습니다.

예시 문장

아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.

"설계된 제어기의 근궤적법(root locus method) 분석 결과, 이득 K가 12.5를 초과하면 극점이 허수축을 넘어가 시스템이 불안정해지는 것으로 확인되었다."

이 문장은 제어기의 반응 강도를 나타내는 값(K)을 12.5보다 크게 설정하면 시스템이 진동을 멈추지 못하고 불안정해진다는 것을, 그래프 분석을 통해 미리 예측했다는 의미입니다. 제어공학·로봇공학·항공우주 논문에서 제어기 설계의 안정성을 검증할 때 널리 쓰입니다.

"쿼드로터의 자세 제어 루프에 대해 근궤적법을 적용하여 비례 이득의 허용 범위를 도출하고, 이를 바탕으로 진동 없는 응답을 보이는 이득 값을 선정하였다."

드론과 같은 비행체의 자세 제어기를 설계할 때, 이득을 얼마나 크게 잡아도 안정성을 잃지 않는지를 근궤적법으로 확인해 실제 적용할 값을 골랐다는 의미입니다.

"전력변환기의 전류 제어기 설계에서 근궤적법을 통해 보상기 극점 위치에 따른 폐루프 극점의 이동을 관찰하고, 상대적으로 감쇠비가 큰 영역을 선택하였다."

전력전자 분야에서는 보상기(compensator)의 설계 변수를 바꿀 때 극점이 어떻게 이동하는지를 근궤적법으로 살펴, 진동이 적고 안정적인 감쇠 특성을 갖는 지점을 고른 사례입니다.

조금 더 깊게 보면

근궤적은 폐루프 특성방정식의 근이 이득 변화에 따라 그리는 자취로, 출발점은 개루프 극점, 도착점은 개루프 영점(또는 무한대)이 됩니다.

논문에서는 근궤적 자체뿐 아니라 특정 이득에서의 감쇠비(damping ratio), 고유진동수, 오버슈트·정착시간 같은 시간응답 지표를 함께 언급하는 경우가 많으므로, 근궤적 위의 한 점이 이러한 지표와 어떻게 연결되는지 같이 살펴보는 것이 이해에 도움이 됩니다.

또한 근궤적법은 단일 입력-단일 출력(SISO) 선형 시스템을 전제로 하므로, 비선형이거나 다중 입출력 시스템에서는 별도의 확장된 해석이 필요하다는 점도 함께 알아두면 좋습니다.

주의할 점

근궤적법은 시간 영역이 아니라 이득 값의 변화에 따른 극점의 이동 경로를 다루는 기법입니다. 주파수 영역에서 시스템 안정성을 판별하는 나이퀴스트 안정성 판별법과는 접근 방식이 다르므로, 두 방법을 같은 것으로 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.

헷갈리기 쉬운 용어

제어계 해석 도구의 이름이 서로 비슷합니다.

용어보는 것특징
근궤적법이득 변화에 따른 폐루프 극점의 이동시간 영역 사양(감쇠비 등)과 연결
전달함수입력과 출력의 관계 모형근궤적의 입력 자료
감쇠비진동이 줄어드는 정도근궤적 위 점의 각도로 읽음
PID 제어기제어기의 한 종류이득 선택에 근궤적을 쓸 수 있음

참고 문헌

  1. Evans, W. R. (1948). Graphical analysis of control systems. Transactions of the AIEE, 67, 547–551.
  2. Evans, W. R. (1950). Control system synthesis by root locus method. Transactions of the AIEE, 69, 66–69.
  3. Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering (5th ed.). Prentice Hall.
  4. Franklin, G. F., Powell, J. D., & Emami-Naeini, A. (2015). Feedback Control of Dynamic Systems (7th ed.). Pearson.

표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.

관련 용어

나이퀴스트 안정성 판별법 SLAM (동시적 위치추정 및 지도작성)