용어 목록 > 리만 제타 함수 (Riemann Zeta Function)

리만 제타 함수 (Riemann Zeta Function)

쉽게 풀면

1의 s제곱 분의 1, 2의 s제곱 분의 1, 3의 s제곱 분의 1을 끝없이 더한 값을 제타 함수라고 합니다. s가 1보다 크면 이 급수가 수렴하고, 그렇지 않은 영역에서는 해석적 연속이라는 방법으로 값을 이어 붙여 정의합니다. s가 2일 때의 값이 원주율 제곱을 6으로 나눈 값이라는 결과가 잘 알려져 있습니다.

왜 중요한가

오일러 곱 표현을 통해 이 함수가 소수 전체의 정보를 품고 있어, 소수 분포 연구의 중심 도구가 됩니다. 제타 함수의 영점 위치에 관한 리만 가설은 아직 풀리지 않은 대표적 난제이며, 정수론뿐 아니라 물리학의 통계역학과 양자 카오스 연구에도 등장합니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

오일러 곱 공식은 제타 함수를 모든 소수에 대한 곱으로 다시 쓴 것으로, 소인수분해의 유일성을 해석학적으로 번역한 결과입니다. 함수방정식은 s와 1-s에서의 값을 연결하여 복소평면 전체의 대칭 구조를 드러내고, 음의 짝수에서 나타나는 자명한 영점을 설명합니다. 비자명 영점이 모두 실수부 1/2 위에 있다는 것이 리만 가설이며, 이것이 참이면 소수정리의 오차 한계가 최선의 형태로 개선됩니다.

주의할 점

s가 1 이하인 값에서의 함숫값은 원래 급수를 더한 결과가 아니라 해석적 연속으로 정의된 값입니다. 이를 무시하고 발산하는 급수의 합이라고 서술하면 오해를 낳습니다.

관련 용어