이차함수의 최댓값과 최솟값 (Maximum and Minimum of a Quadratic Function)
쉽게 풀면
공을 위로 던지면 포물선을 그리며 올라갔다가 내려옵니다. 이때 공이 도달하는 "가장 높은 지점"이 바로 최댓값에 해당합니다. 이차함수 y = a(x-p)² + q 꼴로 식을 바꾸면(이를 "완전제곱식으로 고친다"고 합니다), 그래프의 꼭짓점 좌표가 (p, q)라는 것을 바로 알 수 있습니다. a가 양수면 그래프가 아래로 볼록한 모양이라 꼭짓점에서 가장 작은 값(최솟값)을 갖고, a가 음수면 위로 볼록한 모양이라 꼭짓점에서 가장 큰 값(최댓값)을 갖습니다. 만약 x의 범위(정의역)가 전체 실수가 아니라 특정 구간으로 제한되어 있다면, 꼭짓점이 그 구간 안에 있는지 밖에 있는지에 따라 최댓값·최솟값의 위치가 달라지므로 그래프를 직접 그려서 확인해야 합니다.
왜 중요한가
이차함수의 최댓값·최솟값을 구하는 절차는 미분을 배우기 전 단계에서도 극값을 다룰 수 있게 해주는 가장 기본적인 최적화 도구이며, 이후 배우는 미분을 통한 극값 계산의 개념적 토대가 됩니다. 비용 최소화, 이익 최대화, 물리적 궤적의 최고점 계산 등 여러 실용적 최적화 문제가 이차함수 형태로 단순화되는 경우가 많아, 경제·경영·공학 논문에서도 모형을 이차식으로 근사한 뒤 꼭짓점을 통해 최적값을 도출하는 서술이 흔히 나타납니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 비용이나 수익처럼 어떤 값을 최적화(최소화 또는 최대화)해야 하는 문제를 이차함수로 표현하고, 완전제곱식으로 변형해 최적의 지점(꼭짓점)을 찾았다는 뜻입니다.
물리·공학 실험에서 발사 각도와 이동 거리의 관계가 이차함수 형태임을 확인하고, 그래프의 꼭짓점에 해당하는 각도가 가장 멀리 나가는 최적 조건이라는 것을 밝혔다는 뜻입니다.
마케팅 분석에서 광고비와 매출의 관계를 이차함수로 근사한 뒤, 예산이라는 현실적 제약(정의역 제한) 안에서 매출을 최대화하는 지출 수준을 구했다는 의미입니다.
조금 더 깊게 보면
완전제곱식으로 꼭짓점을 구하는 방법은 이차함수를 미분해서 도함수가 0이 되는 지점을 찾는 것과 본질적으로 같은 결과를 줍니다. 정의역이 제한된 최적화 문제에서는 꼭짓점이 구간 내부에 있는지, 아니면 구간을 벗어나 있는지에 따라 최적해가 내부점(꼭짓점)이 되거나 경계점(구간의 끝)이 되므로, 논문에서 이런 문제를 다룰 때는 "제약이 있는 최적화"라는 관점에서 경계값과 내부 극값을 함께 비교하는 서술이 자주 나타납니다.
주의할 점
정의역이 제한된 경우, 최댓값이나 최솟값이 항상 꼭짓점에서 나오는 것은 아닙니다. 꼭짓점의 x좌표가 주어진 구간 밖에 있다면, 그래프가 그 구간 안에서 계속 증가하거나 감소하는 형태가 되므로 구간의 양 끝점에서 최댓값·최솟값을 확인해야 합니다. 그래프의 전반적인 개형은 이차함수와 그래프를 함께 참고하면 이해하기 쉽습니다.