QR 분해 (QR Decomposition)
한 줄 정의: 행렬 A를 열들이 정규직교인 행렬 Q와 상삼각행렬 R의 곱 A=QR로 나타내는 행렬 분해입니다.
쉽게 풀면
QR 분해는 행렬을 '서로 수직인 방향들(Q)'과 '그 방향으로 얼마나 가는지 적은 삼각표(R)'로 쪼개는 방법입니다. 그람-슈미트 직교화를 행렬 형태로 정리한 결과라고 볼 수 있습니다. 삼각행렬은 풀기 쉬워 계산이 편해집니다.
왜 중요한가
최소제곱 문제를 정규방정식보다 수치적으로 안정하게 풀 수 있게 합니다. 고유값을 반복 계산하는 QR 알고리즘의 기반이기도 해 수치선형대수의 핵심 도구입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"설계행렬의 QR 분해를 이용해 회귀계수를 추정함으로써 정규방정식 대비 수치 오차를 줄였다."
최소제곱 회귀에서 QR 분해를 쓰는 전형적 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
열이 선형독립인 m×n 행렬(m≥n)은 항상 QR 분해를 가집니다. 실제 계산에서는 고전적 그람-슈미트보다 하우스홀더 반사나 기븐스 회전이 오차에 강해 널리 쓰입니다. 최소제곱 해는 Rx=Qᵀb를 뒤에서부터 대입해 구합니다. LU 분해가 연립방정식 풀이에 주로 쓰인다면 QR 분해는 직교성을 활용하는 문제에 강합니다.
주의할 점
그람-슈미트 직교화는 벡터를 직교화하는 절차이고, QR 분해는 그 결과를 행렬 곱으로 표현한 분해 자체입니다. R의 대각성분 부호를 정하지 않으면 분해가 유일하지 않습니다.