폴라첵-힌친 공식 (Pollaczek-Khinchine Formula)
한 줄 정의: M/G/1 대기행렬의 평균 대기고객수·대기시간을 서비스시간의 평균과 분산으로 나타낸 공식입니다.
쉽게 풀면
고객은 무작위(포아송)로 오고 서비스 시간은 어떤 분포든 될 수 있는 창구 하나를 생각해 봅시다. 폴라첵-힌친 공식은 이때 줄에 평균 몇 명이 서 있을지를 서비스 시간의 평균과 흩어진 정도만으로 알려 줍니다. 평균 서비스 시간이 같아도 들쭉날쭉할수록 줄이 길어진다는 것을 숫자로 보여 줍니다.
왜 중요한가
공정·콜센터·컴퓨터 시스템에서 '처리 시간을 표준화하면 대기가 얼마나 줄까'를 계산하는 근거가 됩니다. 변동성 감소의 효과를 정량화하는 논문에서 자주 인용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"P-K 공식에 따르면 서비스시간 변동계수를 1.0에서 0.5로 줄일 경우, 같은 가동률에서 평균 대기시간은 37.5% 감소한다."
(1+Cs²)/2 항이 1에서 0.625로 줄어드는 효과를 계산한 예입니다.
조금 더 깊게 보면
도착률을 λ, 평균 서비스시간을 E[S], 가동률을 ρ=λE[S], 서비스시간 분산을 σ²라 하면 평균 대기고객수는 Lq = (λ²σ² + ρ²) / (2(1−ρ))입니다. 리틀의 법칙으로 Wq = Lq/λ를 구할 수 있고, 이는 Wq = ρ(1+Cs²)E[S] / (2(1−ρ))로도 쓸 수 있습니다(Cs는 서비스시간 변동계수). 지수분포(Cs=1)를 넣으면 M/M/1 결과가, 일정한 서비스(Cs=0)를 넣으면 M/D/1 결과가 나오며 M/D/1의 평균 대기는 M/M/1의 절반입니다. 공식은 ρ<1인 정상상태에서만 성립합니다.
주의할 점
'M/G/1 대기모형' 항목이 모형 자체를 설명한다면, P-K 공식은 그 모형의 평균 성능을 구하는 닫힌 결과식입니다. 도착이 포아송이 아니거나 서버가 여러 대이면 그대로 적용할 수 없습니다.