섭동법 (Perturbation Method)

한 줄 정의: 풀 수 있는 문제에서 조금 벗어난 문제의 해를 작은 매개변수로 전개해 구하는 방법입니다.

쉽게 풀면

정확히 풀리는 쉬운 문제에 아주 작은 항이 하나 더 붙어 풀리지 않게 된 경우가 많습니다. 섭동법은 이 작은 크기를 매개변수로 두고, 해를 그 매개변수의 거듭제곱 급수로 전개합니다. 0차 항은 쉬운 문제의 해이고, 그다음 항들을 차례로 구해 보정해 나갑니다.

왜 중요한가

비선형 미분방정식은 대부분 해석적으로 풀리지 않으므로, 근사해를 얻고 그 구조를 해석하는 것이 현실적 대안입니다. 유체역학의 경계층 이론, 천체역학의 궤도 보정, 양자역학의 에너지 준위 계산이 모두 이 방법으로 다루어집니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"작은 매개변수에 대한 섭동 전개를 통해 1차 보정항까지 구한 근사해를 제시하였다."

조금 더 깊게 보면

매개변수를 0으로 두어도 문제의 성격이 변하지 않으면 정칙 섭동이고, 최고차 도함수 앞에 작은 매개변수가 붙어 문제의 차수 자체가 바뀌면 특이 섭동입니다. 특이 섭동에서는 단순 전개가 실패하고 경계층처럼 급격히 변하는 얇은 영역이 생기므로, 영역을 나누어 전개한 뒤 겹치는 구간에서 맞추는 정합점근전개를 씁니다. 장시간 거동에서 오차가 누적되는 장기항 문제는 다중척도법으로 해결합니다.

주의할 점

섭동급수는 수렴하지 않고 일정 항까지만 정확도가 좋아지는 점근급수인 경우가 많아, 항을 더 더한다고 항상 좋아지지 않습니다. 또 매개변수가 작다는 전제가 깨지는 영역에서는 결과를 신뢰할 수 없습니다.