무어-펜로즈 유사역행렬 (Moore-Penrose Pseudoinverse)

한 줄 정의: 역행렬이 없는 행렬에도 정의되는, 최소제곱 해를 주는 일반화된 역행렬입니다.

쉽게 풀면

정사각형이 아니거나 역행렬이 존재하지 않는 행렬에도 역행렬 비슷한 역할을 하는 행렬을 만들 수 있습니다. 이것이 유사역행렬입니다. 방정식의 해가 아예 없을 때는 오차를 가장 작게 만드는 답을, 해가 무수히 많을 때는 그중 크기가 가장 작은 답을 돌려줍니다.

왜 중요한가

관측이 미지수보다 많아 정확한 해가 없는 회귀 문제와, 관측이 부족해 해가 무수히 많은 역문제 모두 실제 연구에서 흔합니다. 유사역행렬은 이 두 상황을 한 가지 공식으로 다루어 주기 때문에 회귀분석, 신호처리, 로봇 제어에서 표준적으로 사용됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"설계행렬이 완전 랭크가 아니므로 유사역행렬을 이용하여 최소노름 최소제곱해를 산출하였다."

조금 더 깊게 보면

유사역행렬은 네 가지 펜로즈 조건을 모두 만족하는 유일한 행렬로 정의되며, 실제 계산은 특이값분해에서 0이 아닌 특이값만 역수로 바꾸는 방식으로 이루어집니다. 열이 선형독립이면 전치행렬과의 곱의 역행렬을 이용한 공식으로 간단히 표현되지만, 이 공식은 조건수가 나빠질 때 수치적으로 불안정합니다. 아주 작은 특이값을 잘라내는 절단 SVD는 잡음 증폭을 막는 정칙화의 한 형태로 쓰입니다.

주의할 점

유사역행렬을 곱해도 항등행렬이 되지 않는 경우가 일반적이므로 역행렬과 같은 성질을 기대하면 안 됩니다. 또 역행렬이 존재하는 경우에는 유사역행렬이 역행렬과 일치합니다.