적률법 (Method of Moments)

한 줄 정의: 모집단의 이론적 적률(평균, 분산 등)을 표본에서 계산한 적률과 같다고 놓아 방정식을 세우고 이를 풀어 모수를 추정하는 방법.

쉽게 풀면

최대우도추정보다 훨씬 오래된 방법으로, '이론적으로 계산되는 평균과 분산이 표본에서 관찰된 평균, 분산과 같아야 한다'는 상식적인 아이디어에서 출발한다. 모수가 두 개면 방정식도 두 개(평균과 분산)를 세워 연립방정식을 풀듯이 모수를 구한다. 계산이 비교적 간단해서 복잡한 우도함수를 최적화하기 어려울 때 초기값을 구하는 용도로도 자주 쓰인다.

왜 중요한가

적률법은 복잡한 우도함수를 다루기 전에 모수의 대략적인 값을 빠르게 얻을 수 있어, 통계학뿐 아니라 계량경제학, 금융공학 등에서 최적화 알고리즘의 출발점을 마련하는 실무적 도구로 널리 쓰인다. 또한 일반화 적률법(GMM)처럼 더 정교한 추정 이론으로 확장되면서 계량경제학의 핵심 방법론으로 자리 잡았기 때문에, 관련 논문을 읽을 때 배경 지식으로 자주 요구된다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"감마분포의 모수는 적률법을 이용해 초기 추정치를 구한 뒤 최대우도추정으로 정교화하였다."

복잡한 모형에서 최대우도추정의 시작값을 구하거나, 계산이 단순한 근사적 추정치가 필요할 때 사용된다.

"패널 자료 분석에서는 도구변수와 적률조건을 결합한 일반화 적률법(GMM)을 사용하여 모수를 추정하였다."

계량경제학 논문에서는 단순 적률법의 확장인 GMM이 도구변수 기반 추정에 널리 활용됨을 보여준다.

"혼합분포 모형의 초기 모수 설정을 위해 적률법을 적용하고, 이를 EM 알고리즘의 초기값으로 사용하였다."

기계학습·혼합모형 분야에서도 적률법이 반복 최적화 알고리즘의 안정적인 출발점을 제공하는 용도로 언급된다.

조금 더 깊게 보면

적률법을 일반화한 것이 일반화 적률법(Generalized Method of Moments, GMM)으로, 모수보다 적률조건의 수가 많을 때 가중행렬을 이용해 최적으로 결합하는 방식이다. 적률법 추정량의 성질을 평가할 때는 일치성(표본이 커질수록 참값에 수렴하는지)과 점근분산이 주로 논의되며, 고차 적률(왜도, 첨도)을 이용하는 경우 추정의 변동성이 커질 수 있다는 점도 함께 고려된다.

주의할 점

적률법 추정량은 일반적으로 최대우도추정량보다 효율성이 떨어져 같은 표본 크기에서 분산이 더 클 수 있다.