로그의 성질
쉽게 풀면
아주 큰 수끼리 곱하는 계산은 손으로 하기 번거롭습니다. 그런데 로그를 이용하면 "곱셈"이라는 어려운 계산을 "덧셈"이라는 쉬운 계산으로 바꿀 수 있습니다. 예를 들어 log(AB) = log A + log B라는 성질을 쓰면, A와 B를 직접 곱하지 않고 각각의 로그값을 더하기만 하면 됩니다. 마찬가지로 나눗셈은 뺄셈으로(log(A/B) = log A - log B), 거듭제곱은 곱셈으로(log(Aⁿ) = n log A) 바꿀 수 있습니다. 옛날에 계산기가 없던 시절, 천문학자나 공학자들이 복잡한 곱셈·나눗셈을 빠르게 처리하기 위해 이 성질을 적극적으로 활용했습니다. 이는 로그와 지수함수의 정의로부터 자연스럽게 따라 나오는 규칙입니다.
왜 중요한가
로그의 성질은 복잡한 곱셈적 관계를 다루기 쉬운 덧셈적 관계로 바꿔주기 때문에, 통계학의 로그 변환 회귀분석부터 정보이론의 엔트로피 계산, 신호처리의 데시벨 단위 변환에 이르기까지 정량적 연구 전반에서 반복적으로 활용됩니다. 이런 로그의 성질을 이해하고 있어야 논문에서 왜 특정 변수에 로그를 취했는지, 회귀계수를 어떻게 해석해야 하는지를 정확히 읽어낼 수 있습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 데이터의 값이 곱셈적으로(기하급수적으로) 변할 때, 로그의 성질을 이용해 이를 덧셈적인(선형적인) 관계로 단순화하여 통계 분석을 쉽게 만드는 데 로그의 성질이 쓰인다는 것을 보여줍니다.
신호처리 분야에서는 신호 세기가 여러 단계를 거치며 곱해지는 경우가 많은데, 로그의 성질을 이용해 이를 간단한 덧셈으로 바꿔 계산을 단순화한다는 뜻입니다.
정보이론에서 여러 사건이 동시에 일어날 확률(곱셈)을 다룰 때, 로그를 취하면 각 사건의 정보량을 따로 더하는 방식으로 계산할 수 있다는 의미입니다.
조금 더 깊게 보면
로그의 성질은 밑(base)이 무엇이든 성립하지만, 분야에 따라 자연로그(밑 e), 상용로그(밑 10), 이진로그(밑 2)를 관례적으로 다르게 사용합니다. 통계학의 회귀분석에서는 대체로 자연로그를 사용하며, 이 경우 로그 변환된 변수의 회귀계수는 근사적으로 퍼센트 변화율로 해석할 수 있다는 점이 실무적으로 중요합니다. 밑을 바꿔야 할 때는 밑 변환 공식(change of base formula)을 이용해 서로 다른 밑의 로그값을 자유롭게 환산할 수 있습니다.
주의할 점
log(A+B)는 log A + log B와 같지 않습니다. 로그의 성질은 곱셈·나눗셈·거듭제곱에 대해서만 성립하며, 덧셈과 뺄셈에는 적용되지 않습니다. 또한 로그의 진수(로그 안의 값)는 반드시 0보다 커야 정의된다는 점도 함께 기억해야 합니다. 자세한 로그의 정의는 로그와 지수함수 문서를 참고하세요.