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선적분 (Line Integral)

쉽게 풀면

보통의 적분은 직선 구간에서 하지만, 선적분은 평면이나 공간 속 곡선을 따라 적분합니다. 스칼라 함수를 적분하면 곡선을 따라 밀도가 변하는 철사의 질량 같은 값이 나오고, 벡터장을 적분하면 그 경로를 따라 힘이 한 일에 해당하는 값이 나옵니다. 계산은 곡선을 매개변수로 나타낸 뒤 한 변수 적분으로 바꾸어 수행합니다.

왜 중요한가

일, 순환, 회로의 기전력처럼 경로를 따라 누적되는 물리량이 모두 선적분으로 정의되므로 물리·공학 논문의 기본 언어입니다. 또 그린 정리와 스토크스 정리가 선적분과 면적분을 연결하는 형태로 서술되어 벡터 미적분의 중심에 놓여 있습니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

벡터장의 선적분이 시작점과 끝점만으로 결정되고 경로에 무관할 조건은, 그 벡터장이 어떤 스칼라 함수의 그래디언트로 표현되는 것과 동치입니다. 이때 그 스칼라 함수를 퍼텐셜이라 부르며, 선적분은 퍼텐셜의 차이로 간단히 계산됩니다. 단순연결 영역에서는 회전이 0인 것이 보존장의 판정 조건이 됩니다. 곡선의 방향을 뒤집으면 벡터장의 선적분은 부호가 바뀌지만, 호의 길이에 대한 스칼라 선적분은 바뀌지 않습니다.

주의할 점

스칼라 함수의 선적분과 벡터장의 선적분은 기호가 비슷하지만 방향 의존성이 다르므로 구분해야 합니다. 또 양자역학의 경로적분은 이름만 비슷할 뿐 전혀 다른 개념입니다.

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