우도함수 (likelihood function)
쉽게 풀면
동전을 10번 던져 앞면이 8번 나왔다고 해봅시다. "이 동전의 앞면 확률이 0.5일 가능성"과 "0.8일 가능성"과 "0.9일 가능성"을 각각 따져볼 수 있습니다. 확률(probability)은 "모수를 이미 알고 있을 때, 특정 데이터가 나올 확률"을 묻는 반면, 우도(likelihood)는 반대로 "데이터는 이미 나왔고(고정), 그 데이터를 만들어냈을 법한 모수 값은 무엇인가"를 묻습니다. 즉 우도함수는 모수 값을 이리저리 바꿔가며 "이 값이었다면 방금 본 데이터가 나올 그럴듯함이 얼마나 되는가"를 계산해, 그 값들을 나열한 함수입니다.
왜 중요한가
우도함수는 통계적 추론의 거의 모든 갈래가 딛고 서는 기초 개념입니다. 모수를 추정하는 최대우도추정뿐 아니라 베이지안 추론에서 사후분포를 계산할 때도 우도가 핵심 재료로 들어가며, 회귀분석·분류모형·구조방정식모형 등 다양한 통계·기계학습 기법이 내부적으로 우도함수를 최적화하는 형태로 설계되어 있습니다. 그래서 어떤 분야든 정량적 데이터를 다루는 논문이라면 방법론 절에서 우도함수를 언급할 가능성이 높습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 "관찰된 데이터가 나올 그럴듯함을 나타내는 함수를 세운 뒤, 그 값이 가장 커지는 모수 지점을 찾아 그것을 최선의 추정값으로 삼았다"는 뜻입니다.
계산 편의를 위해 우도함수 대신 그 로그값인 로그우도를 다루는 경우가 많으며, 이를 이용해 두 모형 중 어느 쪽이 데이터를 더 잘 설명하는지 비교했다는 뜻입니다.
임상연구 등 베이지안 접근을 쓰는 논문에서는 우도함수가 기존 지식(사전분포)을 새 데이터로 업데이트하는 매개 역할을 한다는 점을 보여줍니다.
조금 더 깊게 보면
실제 계산에서는 우도함수를 그대로 다루기보다 로그를 취한 로그우도함수(log-likelihood)를 사용하는 경우가 대부분인데, 여러 관측치의 우도를 곱하는 대신 더하는 형태로 바꿔 계산이 안정적이고 수치적으로 다루기 쉬워지기 때문입니다. 또한 우도함수를 모수에 대해 미분해 얻는 점수함수(score function)와 그 기울기 정보를 담은 피셔 정보량(Fisher information)은 추정량의 정밀도(표준오차)를 계산하는 데 쓰입니다. 서로 다른 모형을 비교할 때는 우도값 자체보다 AIC, BIC 같은 정보기준이나 우도비검정(likelihood ratio test) 통계량을 함께 살펴보는 것이 일반적입니다.
주의할 점
우도함수의 값 자체는 확률이 아니므로 "우도가 0.3이니 30%의 확률로 맞다"는 식으로 해석하면 안 됩니다. 우도는 여러 모수 후보를 서로 비교하는 상대적인 잣대일 뿐이며, 이 함수를 최대화하는 구체적인 절차는 최대우도추정에서 다룹니다.