전체확률의 법칙 (Law of Total Probability)
쉽게 풀면
어떤 공장에서 A, B, C 세 기계가 각각 40%, 35%, 25%의 비율로 제품을 만들고, 각 기계의 불량률이 서로 다르다고 해봅시다. "이 공장 전체 제품 중 불량품이 나올 확률"을 한 번에 구하기는 어렵지만, "A기계에서 나왔을 때 불량일 확률", "B기계에서 나왔을 때 불량일 확률", "C기계에서 나왔을 때 불량일 확률"을 각각 구해서, 각 기계의 생산 비율만큼 가중치를 곱해 더하면 전체 불량률을 구할 수 있습니다. 이렇게 "전체를 몇 개의 경우로 쪼갠 뒤, 각 경우의 확률과 조건부확률을 곱해서 다시 합치는 것"이 전체확률의 법칙입니다.
왜 중요한가
전체확률의 법칙은 복잡한 사건의 확률을 다루기 쉬운 여러 하위 경우로 쪼개어 계산할 수 있게 해주는 기본적인 확률 계산 도구이기 때문에, 의학의 진단검사 정확도 평가, 통신·품질관리의 오류율 계산, 베이즈 추론의 사전 단계 등 폭넓은 분야의 논문에서 활용됩니다. 특히 베이즈 정리의 분모를 구성하는 핵심 요소이기 때문에, 베이지안 통계를 사용하는 대부분의 연구에서 명시적이든 암묵적이든 함께 쓰입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 전체 대상자를 하위집단(경우)으로 나눈 뒤, 각 하위집단에서 양성이 나올 조건부확률을 그 집단의 비율만큼 가중해 더함으로써 전체 양성 확률을 구했다는 뜻입니다.
품질관리·산업공학 연구에서는 여러 생산 조건이나 설비별 비율을 반영해 전체 시스템의 성능 지표를 계산할 때 이 법칙을 사용합니다.
베이지안 추론을 사용하는 논문에서는 사후확률을 구하기 위한 분모 항을 계산하는 과정에서 전체확률의 법칙이 자연스럽게 등장합니다.
조금 더 깊게 보면
전체확률의 법칙은 표본공간을 서로 겹치지 않으면서 전체를 빠짐없이 덮는 여러 사건으로 나눈 뒤, 각 사건에서의 조건부확률에 그 사건이 일어날 확률을 곱해 모두 더하는 형태로 표현됩니다. 이 법칙은 베이즈 정리의 분모에 해당하는 항을 구하는 데 직접 사용되기 때문에, 사후확률을 계산하는 논문에서는 전체확률의 법칙과 베이즈 정리가 사실상 한 세트로 함께 등장하는 경우가 많습니다.
주의할 점
전체확률의 법칙을 쓰려면 나눈 경우들이 서로 겹치지 않고(배반) 모든 가능성을 빠짐없이 포함해야 합니다. 이 법칙으로 구한 전체 확률과 실제 관찰된 결과를 이용해 반대로 특정 조건의 확률을 역산하고 싶을 때는 베이지안 추론을 함께 사용합니다.