조르당 표준형 (Jordan Normal Form)

한 줄 정의: 대각화되지 않는 행렬까지 포함해 가장 단순한 꼴로 정리한 표준형입니다.

쉽게 풀면

행렬을 적절한 기저에서 바라보면 훨씬 간단한 모양이 됩니다. 고유벡터가 충분히 많으면 완전한 대각행렬이 되지만, 부족하면 대각선 바로 위에 1이 몇 개 남는 모양이 최선입니다. 이 모양을 조르당 표준형이라 하고, 대각선 위의 1로 이어진 각 덩어리를 조르당 블록이라고 부릅니다.

왜 중요한가

모든 정사각행렬이 대각화되는 것은 아니므로, 대각화가 불가능한 경우까지 포괄하는 분류가 필요합니다. 조르당 표준형은 행렬의 거듭제곱, 행렬 지수함수, 선형 미분방정식의 해의 구조를 설명하는 데 쓰이며, 중근을 가진 선형 시스템의 해가 왜 t를 곱한 항을 포함하는지도 여기서 설명됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"계수행렬이 대각화 불가능하므로 조르당 표준형을 이용하여 해의 일반형을 유도하였다."

조금 더 깊게 보면

각 고유값에 대해 기하적 중복도는 조르당 블록의 개수를, 대수적 중복도는 그 고유값에 대응하는 블록들의 크기의 합을 결정합니다. 두 중복도가 모든 고유값에서 일치할 때에만 행렬이 대각화 가능합니다. 블록 구조는 고유값을 뺀 행렬의 거듭제곱들의 랭크로 결정되므로, 표준형은 블록의 순서를 제외하면 유일합니다. 복소수체처럼 특성다항식이 항상 일차식으로 쪼개지는 체 위에서만 완전한 형태가 보장됩니다.

주의할 점

행렬의 대각화가 가능한 행렬은 조르당 표준형이 대각행렬이 되는 특수한 경우이므로, 조르당 표준형은 대각화의 일반화입니다. 또 수치계산에서는 작은 오차로도 블록 구조가 바뀌어 버려 실제 계산에는 잘 쓰이지 않습니다.