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아이디얼 (Ideal (Ring Theory))

쉽게 풀면

정수 전체에서 짝수만 모아 보면, 짝수끼리 더해도 짝수이고 아무 정수나 곱해도 여전히 짝수입니다. 이처럼 덧셈에 대해 닫혀 있으면서 바깥의 어떤 원소를 곱해도 그 안에 머무르는 부분집합을 아이디얼이라고 합니다. 군론에서 정규부분군이 하는 역할을 환론에서 아이디얼이 맡습니다.

왜 중요한가

아이디얼로 나눈 몫환을 만들면 모듈러 연산이 일반화되어, 정수를 n으로 나눈 나머지 체계나 다항식을 특정 식으로 나눈 나머지 체계가 하나의 이론으로 통합됩니다. 대수기하학은 다항식 아이디얼과 도형을 대응시키는 데서 출발하므로 현대 대수학 전반의 출입구가 됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

아이디얼로 나눈 몫환이 정역이 되는 아이디얼을 소 아이디얼, 체가 되는 아이디얼을 극대 아이디얼이라 하며, 이 두 개념은 소수와 기약원의 성질을 추상화한 것입니다. 정수환처럼 모든 아이디얼이 한 원소로 생성되는 환을 주 아이디얼 정역이라 하고, 여기서는 유클리드 호제법과 소인수분해의 유일성이 잘 작동합니다. 한 환에서 다른 환으로 가는 준동형사상의 핵은 항상 아이디얼이 됩니다.

주의할 점

부분환과 아이디얼은 다릅니다. 부분환은 내부 연산만 닫혀 있으면 되지만 아이디얼은 바깥 원소를 곱해도 닫혀 있어야 하므로 훨씬 강한 조건입니다. 또 한국어로 이상이라고 옮기기도 하나 일상어 이상과 무관합니다.

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