등분산성과 이분산성 (homoscedasticity & heteroscedasticity)

한 줄 정의: 등분산성은 예측값 전체 구간에서 오차의 흩어진 정도(분산)가 일정한 것을, 이분산성은 그 흩어진 정도가 구간마다 달라지는 것을 뜻합니다.

쉽게 풀면

월 소득으로 월 지출을 예측하는 회귀모형을 생각해봅시다. 소득이 낮은 사람들은 지출도 거의 비슷비슷하게 적지만, 소득이 높은 사람들은 어떤 사람은 거의 다 쓰고 어떤 사람은 거의 저축해서 지출 편차가 훨씬 크게 벌어집니다. 이렇게 예측변수(소득) 값에 따라 오차의 흩어진 정도가 나팔 모양처럼 점점 커지거나 작아지는 상태를 이분산성(heteroscedasticity)이라고 합니다. 반대로 오차의 흩어진 정도가 예측변수 값과 상관없이 어디서나 고르게 퍼져 있으면 등분산성(homoscedasticity)이라고 합니다. 회귀분석의 표준적인 검정통계량과 신뢰구간은 등분산성을 전제로 계산되기 때문에, 이분산성이 있으면 이 값들이 왜곡될 수 있습니다.

왜 중요한가

회귀분석 기반의 연구 대부분은 오차의 등분산성을 암묵적으로 전제한 채 t검정이나 F검정, 신뢰구간을 계산하기 때문에, 이 가정이 실제로 성립하는지 점검하는 과정은 결과의 신뢰도를 좌우하는 중요한 절차로 다뤄진다. 경제학, 심리학, 생물통계 등 관측 데이터를 다루는 거의 모든 실증 연구에서 이분산성 진단과 보정은 표준적인 방법론 검토 항목으로 자주 등장한다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"Breusch-Pagan 검정 결과 잔차의 이분산성이 확인되어(p<0.01), 강건표준오차(robust standard error)를 적용한 회귀모형으로 재분석하였다."

이 문장은 "회귀모형의 오차가 등분산 가정을 위반하고 있음을 통계적으로 확인했고, 이를 보정하기 위해 표준오차 계산 방식을 바꾼 모형을 다시 돌렸다"는 뜻입니다.

"패널 데이터 분석에서 개체 간 이분산성이 존재할 가능성을 고려하여 클러스터-강건표준오차(cluster-robust standard error)를 산출하였다."

이 문장은 "여러 개체를 시간에 걸쳐 관찰한 자료에서 개체마다 오차의 흩어진 정도가 다를 수 있다고 보고, 이를 반영해 표준오차를 다시 계산했다"는 뜻입니다.

"White 검정을 통해 등분산성 가정의 위반 여부를 확인한 결과 통계적으로 유의한 이분산성은 관찰되지 않았다."

이 문장은 "다른 방식의 검정을 추가로 실시해봐도 오차의 흩어진 정도가 구간마다 달라진다는 증거는 나타나지 않았다"는 뜻입니다.

조금 더 깊게 보면

이분산성 여부를 판단할 때는 잔차 산점도(예측값 대 잔차)를 눈으로 확인하는 방법과 함께, Breusch-Pagan 검정이나 White 검정 같은 공식적인 통계 검정을 함께 활용하는 경우가 많습니다. 검정 결과 이분산성이 확인되면 강건표준오차나 가중최소제곱(WLS)처럼 오차의 분산 구조를 반영해 표준오차를 다시 계산하는 방법이 흔히 쓰입니다. 패널 데이터처럼 관측 단위가 반복 측정되는 구조에서는 이분산성뿐 아니라 개체 간 상관까지 함께 고려하는 클러스터-강건표준오차가 널리 쓰입니다.

주의할 점

이분산성은 회귀계수 추정치 자체를 왜곡시키지는 않지만, 표준오차와 이에 기반한 유의확률·신뢰구간을 부정확하게 만들어 통계적으로 유의하지 않은 결과를 유의한 것처럼(또는 그 반대로) 보이게 할 수 있습니다. 잔차 산점도를 그려보지 않고 등분산성을 당연히 만족한다고 가정한 채 결과를 해석하는 것은 흔한 실수입니다.