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헤르츠 접촉응력 (Hertzian Contact Stress)

쉽게 풀면

구슬 두 개를 서로 눌러 맞대면 맞닿은 부분이 아주 작은 원 모양으로 눌리게 됩니다(곡률이 방향마다 다른 일반적인 곡면끼리는 타원 모양이 됩니다). 헤르츠 접촉응력은 이렇게 곡면끼리 눌릴 때 그 좁은 접촉 부위 안에서 압력이 중심에서 가장 크고 가장자리로 갈수록 줄어드는 형태로 분포한다는 것을 수식으로 나타낸 개념입니다. 이 이론은 볼베어링, 기어, 롤러처럼 곡면끼리 접촉하는 부품의 강도를 계산할 때 기본 도구로 쓰입니다.

왜 중요한가

접촉 부위의 최대 응력을 정확히 알아야 부품이 얼마나 큰 하중을 견딜 수 있는지, 피로 손상이 언제 시작될지를 예측할 수 있기 때문에 기계 설계에서 핵심적으로 다뤄집니다. 베어링이나 기어처럼 반복 하중을 받는 부품의 수명 설계에도 직접 활용됩니다.

계산과 범위

헤르츠 이론은 두 탄성체가 점이나 선에서 맞닿을 때 접촉 반경과 압력 분포를 닫힌 식으로 줍니다(Hertz, 1882; Johnson, 1985). 구와 평면의 접촉(구-구도 같은 형태)에서는 다음과 같습니다.

• 등가 탄성계수: 1/E* = (1 − ν₁²)/E₁ + (1 − ν₂²)/E₂
• 접촉 반경: a = (3FR / 4E*)1/3 (F 하중, R 등가 곡률 반경)
• 최대 접촉압력(중심): p₀ = 3F / (2πa²). 압력은 중심에서 가장 크고 가장자리에서 0이 되는 반타원체 모양으로 분포합니다.
• 표면 아래 최대 전단응력: 푸아송비 0.3 정도에서 대략 0.31 p₀이며, 깊이는 대략 0.48 a입니다(Johnson, 1985).

원통과 평면 같은 선 접촉에서는 단위 길이당 하중을 쓰는 비슷한 식이 따로 있으며, 최대 전단응력은 대략 0.30 p₀, 깊이는 대략 0.78 a(접촉 반폭)로 알려져 있습니다.

해석 기준

가상의 예. 강철 구(R = 5 mm)가 강철 평면을 100 N으로 누른다고 합시다(E = 210 GPa, ν = 0.3).

• 하중을 8배로 올리면 a는 2배, p₀도 2배가 됩니다. 접촉압력은 하중에 비례하지 않고 하중의 1/3제곱으로 커집니다.
• 수 GPa의 압력이 나오는 것은 접촉 면적이 작기 때문이며, 같은 100 N이 넓은 면에 가해지는 경우와 비교할 수 없습니다.
• 이 값을 재료의 허용 접촉응력이나 항복 조건과 비교해 안전 여부를 판단합니다. 피로 균열이 표면 아래 최대 전단응력 위치에서 시작할 수 있다는 점이 베어링 수명 설계에서 중요하게 다뤄집니다.

보고 방법

• 하중, 곡률 반경, 재료의 탄성계수와 푸아송비, 접촉 형상(점/선 접촉)을 적습니다. 계산한 값(a, p₀, 최대 전단응력과 깊이)과 사용한 식의 출처를 밝힙니다.
• 헤르츠 이론의 전제를 점검했는지 적습니다: 선형 탄성, 접촉 면적이 곡률 반경에 비해 매우 작음, 마찰이 없음, 매끈한 표면.
• 유한요소해석과 비교한 논문은 요소 크기와 접촉 정의를 함께 밝힙니다. 접촉 부근에서 수렴하려면 격자를 촘촘히 해야 합니다.
• 이론값을 ‘실제 응력’처럼 쓰지 않습니다. 표면 거칠기와 소성 변형이 있으면 실제 응력은 이론과 달라집니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

실제 논문에서

이 용어를 직접 쓴 국내 논문 문장을 아직 수집하지 못했습니다. 수집되는 대로 출처와 함께 싣겠습니다.

예시 문장

아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.

베어링 볼이 레이스에 눌릴 때 생기는 최대 압력을 계산해서 설계가 안전한지 검토했다는 의미입니다.

수학적으로 구한 응력 분포와 컴퓨터 시뮬레이션 결과를 비교해 이론이 맞는지 확인했다는 뜻입니다.

조금 더 깊게 보면

헤르츠 이론은 접촉면이 좁고 재료가 선형 탄성 범위 안에 있다는 가정 위에서 성립하며, 접촉 형상(구-구, 구-평면, 원통-원통 등)에 따라 접촉 면적과 최대 압력을 구하는 공식이 달라집니다. 실제 설계에서는 이 최대 압력값을 재료의 허용 접촉응력과 비교하여 피팅(pitting)이나 표면 손상 여부를 판단합니다.

최대 전단응력은 표면이 아니라 접촉 중심축을 따라 표면 아래 일정 깊이 지점에서 나타나며, 이 위치가 바로 반복 접촉 피로에 의한 미세균열이 흔히 시작되는 지점입니다. 구형 접촉과 원통형 접촉은 접촉면의 형상이 다르므로 압력 분포식과 접촉 반경을 구하는 공식도 서로 다르게 유도됩니다.

주의할 점

헤르츠 이론은 마찰이나 소성 변형, 표면 거칠기를 고려하지 않는 이상화된 모델이므로, 실제 조건이 이 가정에서 크게 벗어나면 오차가 커질 수 있습니다.

헤르츠 이론은 접촉면이 전체 곡률 반경에 비해 매우 작다는 가정과 완전 탄성 거동을 전제로 하므로, 접촉면이 커지거나 국부 항복이 발생하는 경우에는 실제 응력과 큰 차이를 보일 수 있습니다.

헷갈리기 쉬운 용어

접촉과 파손을 말할 때 자주 함께 나오는 용어입니다.

참고 문헌

1. Hertz, H. (1882). Über die Berührung fester elastischer Körper. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 92.
2. Johnson, K. L. (1985). Contact Mechanics. Cambridge University Press.
3. Timoshenko, S. P., & Goodier, J. N. (1970). Theory of Elasticity (3rd ed.). McGraw-Hill.

표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.