가우스 구적법 (Gaussian Quadrature)

한 줄 정의: 표본점과 가중치를 최적으로 골라 적은 계산으로 정확한 수치적분을 얻는 방법입니다.

쉽게 풀면

수치적분은 몇 개의 점에서 함숫값을 구해 가중평균을 내는 방식입니다. 심프슨 법칙처럼 점을 같은 간격으로 놓는 대신, 가우스 구적법은 점의 위치까지 미지수로 두고 가장 좋은 위치를 계산합니다. 그 결과 n개의 점만으로 차수가 2n-1인 다항식까지 정확하게 적분할 수 있습니다.

왜 중요한가

같은 계산량으로 훨씬 높은 정확도를 얻기 때문에 유한요소법, 전산유체역학, 통계의 수치적분에서 표준으로 쓰입니다. 함숫값 계산 한 번이 비싼 시뮬레이션에서는 표본점 수를 줄이는 것이 곧 계산 시간의 절감으로 이어집니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"요소 내부 적분을 2점 가우스 구적법으로 근사하여 계산 비용을 절반으로 줄였다."

조금 더 깊게 보면

표본점은 해당 구간과 가중함수에 대응하는 직교다항식의 근으로 주어지며, 가장 기본형인 가우스-르장드르 구적법에서는 르장드르 다항식의 근이 사용됩니다. 무한구간이나 지수 가중이 붙은 적분에는 라게르, 에르미트 다항식에 기반한 변형이 있습니다. 구간 끝점을 반드시 포함시키는 로바토 방식이나, 계산을 재사용하며 오차를 추정하는 가우스-크론로드 방식도 널리 쓰입니다.

주의할 점

수치적분의 한 방법이지만, 심프슨의 법칙처럼 등간격 표본을 쓰는 뉴턴-코츠 계열과 달리 표본점 위치가 미리 정해져 있지 않습니다. 따라서 이미 등간격으로 측정된 자료에는 그대로 적용할 수 없습니다.