약수와 배수 (Factors and Multiples)

한 줄 정의: 약수는 어떤 수를 나머지 없이 나눌 수 있는 수이고, 배수는 어떤 수에 자연수를 곱해서 나오는 수입니다.

쉽게 풀면

사탕 12개를 친구들에게 남김없이 똑같이 나눠주려고 한다고 해봅시다. 1명, 2명, 3명, 4명, 6명, 12명에게 나눠주면 한 명도 남기지 않고 딱 떨어지게 나눌 수 있는데, 이때 1, 2, 3, 4, 6, 12를 12의 "약수"라고 합니다. 즉 약수는 어떤 수를 나머지 없이 나눌 수 있는 수입니다.

반대로 "배수"는 어떤 수를 1배, 2배, 3배… 로 늘려가며 얻는 수입니다. 3의 배수는 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9, 3×4=12처럼 3, 6, 9, 12, 15… 로 끝없이 이어집니다. 정리하면 "12는 3의 배수이다"라는 말과 "3은 12의 약수이다"라는 말은 같은 관계를 서로 반대 방향에서 바라본 것입니다.

왜 중요한가

약수와 배수는 나눗셈과 곱셈이라는 기본 연산의 의미를 이해하는 토대가 되기 때문에, 이후에 배우는 최대공약수·최소공배수, 분수의 약분과 통분, 나아가 정수론 전반의 기초를 이룹니다. 그래서 수학교육 논문에서는 학생들이 이 개념을 조작적으로만 암기하는지, 아니면 곱셈·나눗셈의 관계 구조로 이해하는지를 살펴보는 연구가 꾸준히 이루어집니다.

핵심 정리

정수 a, b에 대해 a = b × k를 만족하는 정수 k가 있을 때, b는 a의 약수이고 a는 b의 배수입니다. 초등 과정에서는 보통 자연수만 다룹니다.
모든 자연수는 1과 자기 자신을 약수로 가집니다. 약수는 그 수를 넘을 수 없으므로 개수가 유한하고, 배수는 끝없이 이어집니다.
소인수분해를 알면 약수의 개수를 바로 셀 수 있습니다. n = p₁^e₁ × p₂^e₂ × … 이면 약수의 개수는 (e₁+1)(e₂+1)…입니다.
약수와 배수는 같은 관계를 두 방향에서 본 것입니다. “3은 12의 약수”와 “12는 3의 배수”는 같은 말입니다.

예시로 보기

12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 12 = 2² × 3이므로 (2+1)(1+1) = 6개
36의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 → 36 = 2² × 3²이므로 (2+1)(2+1) = 9개
50 이하의 자연수 중 약수의 개수가 홀수인 수(코드로 확인): 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49

마지막 목록은 모두 제곱수입니다. 약수는 보통 (d, n/d)의 쌍으로 짝을 짓는데, n이 제곱수일 때만 짝이 자기 자신인 약수(√n)가 하나 생겨 개수가 홀수가 되기 때문입니다. 이처럼 약수의 개수는 소인수분해 구조와 연결됩니다.

자주 하는 오해

오해	바로잡기
약수는 그 수보다 작은 수들이다.	1과 자기 자신도 약수입니다. 12의 약수에는 12가 들어갑니다.
배수는 그 수보다 큰 수들이다.	1배는 자기 자신이므로 자기 자신도 배수입니다(초등 과정에서는 1배, 2배, …를 배수로 셉니다).
0은 아무의 배수도 아니다.	정수 전체로 넓히면 0 = b × 0이므로 0은 모든 수의 배수입니다. 초등 과정에서는 자연수만 다루므로 보통 다루지 않습니다.
약수가 많은 수가 큰 수다.	수의 크기와 약수의 개수는 별개입니다. 12는 6개, 13은 2개의 약수를 가집니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

실제 논문에서

국내 학술지 논문에서 이 용어가 쓰인 문장을 그대로 옮겼습니다. 제목·학술지·연도와 원문 링크를 함께 적었습니다.

“약수와 배수 주제의 개방형 과제 유형 중 역 과제와 구성활동적 과제를 개발하고 초등학교 5～6학년 학생 181명에게 과제를 해결하게하였다.”
초등 수학 개방형 과제의 해법 공간 분석 연구, 초등수학교육, 2022 · KCI 한국학술지인용색인 · 원문 보기 ↗

예시 문장

아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.

"본 연구는 초등학교 5학년 학생들이 약수와 배수 개념을 학습할 때 곱셈과 나눗셈 개념을 얼마나 연결지어 이해하는지를 분석하였다."

이 문장은 연구자가 학생들이 "약수를 구하는 것은 나눗셈과 관련 있고, 배수를 구하는 것은 곱셈과 관련 있다"는 두 개념 사이의 연결성을 제대로 이해하는지를 조사했다는 뜻입니다.

"약수와 배수 개념에 대한 오개념 유형을 분류하고, 각 오개념이 최대공약수와 최소공배수 학습에 미치는 영향을 살펴보았다."

수학교육 연구에서 약수와 배수에 대한 잘못된 이해가 이후 상위 개념 학습에 어떤 어려움을 만드는지를 다룰 때 쓰인다.

"조작 교구를 활용한 수업이 약수와 배수 개념의 이해도에 미치는 효과를 실험집단과 통제집단 비교를 통해 검증하였다."

교수법 효과성을 검증하는 연구에서 특정 수업 방법이 약수와 배수 개념 학습에 도움이 되는지를 살펴볼 때 쓰인다.

조금 더 깊게 보면

약수와 배수의 관계는 이후 소인수분해, 최대공약수와 최소공배수, 서로소 등의 개념으로 확장되며, 이는 모두 정수론이라는 더 큰 수학 영역의 기초가 됩니다. 교육학 연구에서는 학생들이 이러한 개념을 절차적으로만 계산하는 수준을 넘어, 나눗셈과 곱셈이 서로 역연산 관계에 있다는 구조적 이해로 나아가는지를 중요한 학습 지표로 다룹니다.

주의할 점

약수는 어떤 수보다 클 수 없어서 그 개수가 유한하지만, 배수는 끝없이 이어지므로 개수가 무한하다는 점에서 서로 성질이 다릅니다. 이 둘 사이의 공통된 약수 중 가장 큰 것, 공통된 배수 중 가장 작은 것을 다루는 개념은 최대공약수와 최소공배수에서 별도로 배우게 됩니다.

헷갈리기 쉬운 용어

약수·배수와 이어서 배우는 개념을 구분합니다.

용어	무엇을 다루나	약수·배수와의 관계
약수와 배수	나누어떨어지는 관계	기본 관계
최대공약수와 최소공배수	두 수의 공통 약수 중 가장 큰 수, 공통 배수 중 가장 작은 수	약수·배수 위에서 정의됨
소인수분해	자연수를 소수의 곱으로 나타내기	약수를 빠짐없이 찾고 세는 도구

참고 문헌

Zazkis, R., & Campbell, S. R. (1996). Divisibility and multiplicative structure of natural numbers: Preservice teachers’ understanding. Journal for Research in Mathematics Education, 27(5), 540–563.
Niven, I., Zuckerman, H. S., & Montgomery, H. L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). John Wiley & Sons.

표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.