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쌍대공간 (Dual Space)

쉽게 풀면

벡터를 넣으면 수 하나를 내놓는 선형함수를 선형범함수라고 합니다. 이런 함수들끼리는 더하거나 상수배 할 수 있으므로, 이들을 모으면 다시 하나의 벡터공간이 됩니다. 이것을 원래 공간의 쌍대공간이라고 합니다. 행벡터가 열벡터에 작용해 수를 내놓는 관계가 가장 간단한 예입니다.

왜 중요한가

물리량 중에는 벡터처럼 보이지만 좌표변환에서 반대로 변하는 양이 있고, 이를 정확히 다루려면 쌍대공간의 언어가 필요합니다. 최적화의 쌍대 문제, 함수해석학의 약수렴, 텐서와 미분형식의 정의가 모두 이 개념 위에 세워집니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

유한 차원에서는 기저를 정하면 쌍대기저를 얻을 수 있고 쌍대공간의 차원이 원래와 같지만, 자연스러운 동형사상은 존재하지 않아 기저 선택에 의존합니다. 반면 쌍대공간을 두 번 취하면 유한 차원에서는 원래 공간과 자연스럽게 동형입니다. 무한 차원에서는 연속인 범함수만 모은 연속쌍대공간을 사용하며, 한-바나흐 정리가 충분히 많은 범함수의 존재를 보장합니다. 힐베르트 공간에서는 리스 표현정리에 의해 모든 연속범함수가 내적으로 표현됩니다.

주의할 점

부분공간과는 전혀 다른 개념으로, 쌍대공간은 원래 공간 안에 들어 있는 집합이 아니라 함수들로 이루어진 별개의 공간입니다. 또 최적화의 라그랑주 쌍대성과는 관련은 있으나 같은 대상이 아닙니다.

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