두 점 사이의 거리 (Distance Between Two Points)

한 줄 정의: 좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁)와 B(x₂, y₂) 사이의 직선 거리를 √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)로 구하는 공식입니다.

쉽게 풀면

두 점 사이의 거리는 사실 피타고라스의 정리를 좌표평면 위에 그대로 옮겨 놓은 것입니다. 두 점을 각각 가로로 얼마나 떨어져 있는지(x좌표 차이), 세로로 얼마나 떨어져 있는지(y좌표 차이)를 구한 뒤, 이 둘을 직각삼각형의 밑변과 높이로 생각하면 빗변이 바로 두 점을 잇는 직선 거리가 됩니다. 예를 들어 지도 위에서 우리 집과 학교의 위치를 좌표로 나타냈을 때, 가로로 3칸 세로로 4칸 떨어져 있다면 직선 거리는 √(3²+4²) = 5칸이 되는 식입니다.

왜 중요한가

두 점 사이의 거리 공식은 유클리드 거리라는 이름으로 데이터과학, 기계학습, 지리정보시스템 등 매우 광범위한 분야에서 유사도나 근접성을 수치화하는 기초 도구로 쓰이기 때문에 여러 학문 분야의 방법 섹션에서 반복적으로 등장합니다. 군집분석이나 최근접 이웃 알고리즘처럼 '거리'라는 개념을 필요로 하는 거의 모든 정량적 분석의 출발점이 되며, 고차원 데이터에서는 이 공식을 일반화한 다양한 거리 척도 연구로 이어지기도 합니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"두 관측 지점 간의 공간적 근접성을 정량화하기 위해 좌표평면상 두 점 사이의 거리 공식을 적용하여 유클리드 거리를 산출하였다."

이 문장은 지리정보, 클러스터링, 위치 기반 분석 등을 다루는 논문에서 두 대상(지점, 데이터, 좌표 등) 사이의 근접 정도를 수치로 표현할 때 이 거리 공식을 기초로 사용했다는 뜻입니다.

"각 데이터 포인트와 군집 중심 간의 유클리드 거리를 반복적으로 계산하여 k-평균 군집화를 수행하였다."

기계학습에서 데이터를 그룹으로 묶는 군집화 알고리즘의 기본 연산으로 거리 공식이 쓰이는 사례이다.

"환자의 임상 지표를 다차원 좌표로 변환한 뒤 두 점 사이의 거리 공식을 확장하여 유사 증례 간 거리를 산출하였다."

의료 데이터에서 유사 환자를 찾는 분석에 거리 개념이 활용되는 의생명 정보학 연구의 표현이다.

조금 더 깊게 보면

2차원 평면의 거리 공식은 n차원 공간으로 자연스럽게 확장되어 각 좌표 차이의 제곱을 모두 더한 뒤 제곱근을 취하는 형태가 되며, 이를 유클리드 거리(Euclidean distance)라고 부릅니다. 실제 데이터 분석에서는 유클리드 거리 외에도 좌표 차이의 절댓값을 더하는 맨해튼 거리, 두 값 중 최댓값을 취하는 체비쇼프 거리 등 다양한 거리 척도가 상황에 따라 선택되는데, 어떤 거리 척도를 쓰느냐에 따라 군집화나 분류 결과가 달라질 수 있어 척도 선택 자체가 분석 설계의 중요한 부분으로 다뤄집니다.

주의할 점

이 공식은 평면(2차원) 위의 직선 거리를 구할 때 쓰는 것이며, 실제 도로나 곡선을 따라가는 이동 거리와는 다릅니다. 또한 3차원 이상의 공간에서는 좌표 차이의 제곱을 더 많은 항으로 확장해서 계산하며, 이는 피타고라스의 정리를 일반화한 것에 해당합니다.