디랙 방정식 (Dirac Equation)
쉽게 풀면
슈뢰딩거 방정식은 물체가 빛의 속도에 비해 아주 느릴 때만 잘 맞습니다. 전자가 빠르게 움직이는 상황까지 다루려면 특수상대성이론과 어울리는 방정식이 필요합니다. 디랙은 시간과 공간을 대등하게 1차 미분으로 다루는 방정식을 만들었는데, 그러기 위해 파동함수를 성분 네 개짜리 묶음으로 확장해야 했습니다. 그런데 이 구조에서 전자의 스핀이 저절로 따라 나왔고, 에너지가 음수인 해까지 함께 나왔습니다.
왜 중요한가
스핀이 별도의 가정 없이 상대론적 요구에서 자연히 도출된다는 점에서, 스핀의 기원을 설명한 방정식으로 평가됩니다. 음에너지 해의 해석에서 반입자라는 개념이 나왔고 실제로 양전자가 발견되면서 이론의 예측력이 입증되었습니다. 오늘날에도 중원소의 화학적 성질, 위상 절연체와 그래핀의 전자 구조처럼 상대론적 효과가 중요한 계를 기술하는 데 그대로 사용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
조금 더 깊게 보면
방정식은 시간과 공간에 대해 모두 1차 미분으로 구성되며, 이를 가능하게 하려면 계수들이 서로 반교환하는 행렬이어야 하고 그 결과 파동함수가 네 성분을 갖게 됩니다. 네 성분은 각각 스핀이 위·아래인 입자와 반입자 상태에 대응합니다. 전자기장과 결합시키면 전자의 자기 모멘트 크기가 실험값에 가깝게 자동으로 나오고, 수소 원자의 미세구조도 설명됩니다. 고체 안에서 에너지와 운동량이 직선 관계를 이루는 경우 전자가 질량 없는 입자처럼 행동하게 되는데, 그래핀의 특이한 전기적 성질이 이런 방식으로 설명됩니다.
주의할 점
디랙 방정식을 단일 입자의 파동함수 방정식으로만 해석하면 음에너지 해와 입자 수 변화를 제대로 다룰 수 없어서, 엄밀한 기술에는 양자장론의 틀이 필요합니다. 또 이 방정식은 스핀 1/2 입자에 대한 것이므로, 스핀 0인 입자의 클라인-고든 방정식과는 적용 대상이 다릅니다. 고체물리 논문에서 '디랙 전자'라고 할 때는 진짜 상대론적 입자가 아니라 같은 수학 구조를 따르는 준입자를 뜻합니다.