기술함수 해석 (Describing Function Analysis)
쉽게 풀면
포화나 불감대, 마찰 같은 비선형 요소가 들어간 제어 시스템은 선형 이론으로 다루기 어렵습니다. 기술함수 해석은 비선형 요소에 정현파가 들어간다고 가정하고, 나오는 출력에서 같은 주파수 성분만 골라 입력과 비교해 하나의 등가 이득으로 바꿉니다. 그러면 시스템 전체를 선형 회로처럼 다룰 수 있게 되어, 스스로 진동이 생길지 그 진폭과 주파수가 얼마일지 근사적으로 예측할 수 있습니다.
왜 중요한가
실제 제어 대상에는 구동기 포화나 기계적 유격 같은 비선형성이 반드시 들어 있고, 이들이 만드는 지속 진동은 설계 단계에서 반드시 확인해야 할 현상입니다. 정확한 비선형 해석은 계산이 무겁지만 이 방법은 주파수 응답 선도 위에서 간단한 교점 판정만으로 답을 주므로, 설계 초기의 실용적인 진단 도구로 오래 사용되어 왔습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
비선형 요소를 등가 이득으로 바꾸어 진동 조건을 그림에서 읽어낸 사례입니다.
조금 더 깊게 보면
비선형 요소의 기술함수는 입력 정현파의 진폭에 따라 달라지는 복소 이득으로 정의되며, 출력을 푸리에 급수로 전개했을 때 기본파 성분만 남기고 고조파를 버리는 근사에 기반합니다. 자려진동 조건은 선형 부분의 주파수 응답이 기술함수의 음의 역수 궤적과 만나는 점으로 주어지고, 그 교점의 진폭과 주파수가 곧 한계주기의 예측값이 됩니다. 교점에서 두 궤적이 만나는 방식에 따라 그 한계주기가 안정한지 불안정한지도 판정할 수 있습니다. 근사가 성립하려면 선형 부분이 저역통과 성질을 가져 고조파를 충분히 걸러 주어야 합니다.
주의할 점
고조파를 무시하는 근사이므로 선형 부분의 저역통과 성질이 약하면 예측이 크게 빗나갈 수 있습니다. 결과는 존재 가능성에 대한 근사적 예측이지 엄밀한 증명이 아니므로, 리아푸노프 안정성 해석이나 시뮬레이션으로 확인하는 것이 일반적입니다.