밀도행렬 (Density Matrix)
쉽게 풀면
파동함수는 계의 상태를 정확히 알고 있을 때만 쓸 수 있습니다. 그런데 현실에서는 "절반의 확률로 이 상태, 절반의 확률로 저 상태"처럼 통계적으로만 아는 경우가 많습니다. 밀도행렬은 이런 상황까지 한꺼번에 담을 수 있는 표현입니다. 대각선 성분은 각 상태에 있을 확률을, 비대각 성분은 상태들 사이의 위상 관계, 즉 양자적 간섭 능력을 나타냅니다.
왜 중요한가
실제 실험 대상은 주변 환경과 얽혀 있어 순수 상태로 기술되지 않는 경우가 대부분이므로, 개방계와 유한 온도 계를 다루려면 밀도행렬이 필수적입니다. 비대각 성분이 사라지는 과정이 곧 양자 결어긋남이어서, 양자컴퓨터에서 오류가 생기는 과정을 정량화하는 언어가 됩니다. 양자정보에서 얽힘의 정도를 계산하거나 양자 상태 단층촬영으로 상태를 복원할 때도 밀도행렬이 기본 대상입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
조금 더 깊게 보면
밀도행렬은 대각합이 1이고 음이 아닌 고윳값을 갖는 연산자이며, 제곱의 대각합이 1이면 순수 상태, 1보다 작으면 섞인 상태입니다. 여러 부분으로 이루어진 계에서 관심 없는 부분을 대각합으로 걸러 내면 축소 밀도행렬이 얻어지고, 이것이 개방계 기술의 출발점입니다. 열평형 상태의 밀도행렬은 에너지에 대한 볼츠만 분포 형태로 주어져 통계역학과 곧바로 연결됩니다. 축소 밀도행렬의 폰 노이만 엔트로피는 얽힘 엔트로피로 해석되어 양자정보와 응집물질물리에서 널리 쓰입니다.
주의할 점
확률적으로 섞인 상태와 여러 상태가 중첩된 순수 상태는 밀도행렬의 비대각 성분 유무로 구분되며, 둘을 같은 것으로 다루면 안 됩니다. 또 서로 다른 확률 혼합이 같은 밀도행렬을 줄 수 있어, 밀도행렬로부터 원래의 혼합 방식을 유일하게 되찾을 수는 없습니다. 밀도행렬은 관측 가능한 예측을 모두 담고 있으므로, 예측이 같다면 물리적으로 구별되지 않습니다.