델타법 (Delta Method)
쉽게 풀면
예를 들어 위험비의 로그값을 추정했을 때 그 분산은 알기 쉬운데, 정작 알고 싶은 것이 로그를 취하지 않은 원래 위험비의 분산이라면 어떻게 계산해야 할까? 델타법은 이렇게 정규분포를 따르는 어떤 추정량을 비선형 함수로 변환했을 때 그 결과물의 분산을 근사적으로 구하는 방법을 제공한다. 함수의 미분(기울기)을 이용해 원래의 분산을 새로운 척도로 변환하는 원리를 이용한다.
왜 중요한가
델타법은 회귀계수, 오즈비, 위험비처럼 통계 모형에서 직접 추정한 값을 다른 척도로 변환했을 때 그 표준오차나 신뢰구간을 계산할 표준적인 도구를 제공하기 때문에, 계량경제학, 생물통계학, 역학 등 추정량의 비선형 변환을 다루는 거의 모든 분야에서 널리 쓰입니다. 시뮬레이션 없이도 비교적 간단한 수식으로 근사 분산을 구할 수 있다는 실용성 덕분에, 복잡한 모형에서 간접효과나 파생 지표의 불확실성을 보고할 때 표준적으로 채택되는 방법입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
비율, 오즈비, 위험비처럼 원래 추정량을 변환한 값의 표준오차나 신뢰구간을 계산할 때 표준적으로 사용된다.
매개분석에서는 두 회귀계수의 곱으로 정의되는 간접효과의 분산을 직접 유도하기 어려운 경우가 많아, 델타법이 표준오차를 근사하는 대표적인 방법으로 쓰입니다.
역학 연구에서는 로그 척도로 추정한 값을 해석하기 쉬운 원래 척도(상대위험도, 발생률비 등)로 되돌려 보고할 때 델타법을 자주 사용합니다.
조금 더 깊게 보면
델타법의 원리는 변환 함수를 추정값 근처에서 1차 테일러 전개로 근사하는 것에서 출발합니다. 즉 변환된 값의 분산을, 원래 추정량의 분산에 그 지점에서의 미분값(기울기)의 제곱을 곱하는 방식으로 근사합니다. 이 근사는 표본 크기가 충분히 크고 함수가 매끄러울 때 잘 작동하지만, 변환 함수의 기울기가 특정 지점에서 0에 가까워지면 근사 오차가 커질 수 있어 이런 경우에는 붓스트랩(bootstrap) 같은 재표본 기법을 대안으로 함께 검토하기도 합니다.
주의할 점
델타법은 변환 함수가 미분 가능해야 하고 표본이 충분히 커야 근사가 정확해지며, 변환 지점에서 미분값이 0에 가까우면 근사가 부정확해질 수 있다.