드무아브르 공식 (De Moivre's Formula)
쉽게 풀면
복소수를 직교좌표(a+bi) 형태로 여러 번 곱하려면 매번 항을 전개해야 해서 계산이 매우 복잡해집니다. 하지만 복소수를 절댓값 1인 극형식 cos θ + i sin θ로 나타내면, 이 값을 n번 곱한 결과는 그저 각도 θ를 n배 한 cos(nθ) + i sin(nθ)일 뿐입니다. 즉 "복소수를 곱하는 것은 평면 위에서 회전시키는 것과 같다"는 성질을 이용하면, 여러 번 곱하는 대신 각도만 n배 해주면 되는 것입니다. 예를 들어 (cos 30° + i sin 30°)를 12제곱하면 각도가 30°×12=360°가 되어 다시 처음 위치(1)로 돌아온다는 것을 계산 없이 바로 알 수 있습니다.
왜 중요한가
드무아브르 공식은 복소수의 거듭제곱과 거듭제곱근을 각도 연산으로 바꿔주기 때문에, 순수수학에서는 방정식의 근을 구하는 문제를 단순화하는 도구로 쓰이고, 신호처리·전기공학에서는 주파수 성분을 다루는 푸리에 해석이나 교류회로의 위상 계산의 이론적 바탕이 됩니다. 이 때문에 복소수를 다루는 이공계 논문 전반에서 회전, 주기성, 위상 변화를 설명할 때 암묵적으로 전제되는 성질로 자주 등장합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 방정식의 해를 하나하나 대입해서 찾는 대신, 각도를 등분하는 방식으로 모든 해의 위치를 한 번에 구했다는 뜻입니다.
신호처리에서 시간에 따라 위상이 계속 회전하는 성분을, 복소수의 거듭제곱 형태로 간단히 나타냈다는 뜻입니다.
조금 더 깊게 보면
드무아브르 공식은 오일러 공식 e^(iθ) = cos θ + i sin θ와 직접 연결되는데, 오일러 공식을 이용하면 드무아브르 공식은 지수법칙 (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ)의 자연스러운 결과로 이해할 수 있습니다. 이 관점은 복소수의 곱셈을 평면 위 회전으로, 거듭제곱을 회전각의 배율로 해석하게 해주며, n제곱근을 구할 때 각도를 n등분해 여러 개의 해를 얻는 방식으로도 확장됩니다.
주의할 점
드무아브르 공식은 복소수를 삼각함수를 이용한 극형식으로 나타냈을 때만 성립하는 공식이며, 복소수를 실수부와 허수부로 나눈 a+bi 형태 그대로는 이 공식을 바로 적용할 수 없습니다. 따라서 거듭제곱을 계산하기 전에 먼저 극형식으로 바꾸는 과정이 필요합니다.