합성함수와 역함수 (composite and inverse function)
쉽게 풀면
공장의 두 기계를 생각해봅시다. 첫 번째 기계(f)는 나무를 잘라 판자로 만들고, 두 번째 기계(g)는 판자를 사포질해서 매끈하게 만듭니다. 나무를 첫 번째 기계에 넣고 나온 판자를 바로 두 번째 기계에 넣으면, 결과적으로 "나무를 넣으면 매끈한 판자가 나오는" 하나의 새로운 공정이 생깁니다. 이것이 합성함수 g(f(x))입니다. 반대로 역함수는 "출력을 다시 입력으로 되돌리는" 기계입니다. f가 "2를 곱하는" 함수라면, 역함수는 "2로 나누는" 함수여서 f에 넣었던 값을 원래대로 복원해줍니다. 단, 역함수가 존재하려면 원래 함수가 서로 다른 입력에 서로 다른 출력을 내주어야(일대일 대응) 합니다.
왜 중요한가
합성함수와 역함수는 복잡한 시스템이나 모델을 여러 단순한 단계로 쪼개서 이해하고, 필요하면 다시 원래 상태로 되돌리는 사고방식의 기초가 됩니다. 신경망의 층을 순서대로 쌓아 하나의 함수로 보는 것, 데이터를 변환해 분석한 뒤 원래 척도로 복원하는 것, 좌표계를 바꿨다가 다시 되돌리는 것 모두 합성과 역의 개념 위에 서 있습니다. 그래서 수학뿐 아니라 통계학, 공학, 컴퓨터과학 논문 전반에서 두 개념이 명시적으로든 암묵적으로든 계속 등장합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 데이터를 다루기 쉬운 형태로 합성함수처럼 변환해 분석한 뒤, 최종 해석 단계에서는 그 역함수를 이용해 원래 단위로 복원했다는 뜻입니다. 통계나 공학 논문에서 변수 변환과 그 역변환을 함께 언급할 때 자주 등장하는 표현입니다.
딥러닝 분야에서 흔히 볼 수 있는 서술로, 인코더와 디코더를 각각 하나의 함수로 보고 두 함수를 이어붙인(합성한) 전체 모델을 정의한 것입니다. 디코더가 인코더의 출력을 원래 입력에 가깝게 복원하도록 훈련시킨다는 점에서 역함수의 개념을 응용하고 있습니다.
물리학이나 응용수학 논문에서 자주 쓰이는 표현으로, 계산을 쉽게 하기 위해 좌표계를 한 번 바꾸었다가(합성 관점에서 새로운 변환을 적용한 것) 답을 구한 뒤에는 그 역변환으로 원래 좌표계의 해로 되돌리는 절차를 설명합니다.
조금 더 깊게 보면
합성함수를 다룰 때는 미분에서의 연쇄법칙이 핵심 도구가 되며, 역함수를 다룰 때는 역함수의 미분(도함수)이 원래 함수의 도함수와 어떤 관계를 갖는지가 자주 쟁점이 됩니다. 또한 함수가 일대일 대응이 아니어서 정확한 역함수가 존재하지 않는 경우, 논문에서는 흔히 "근사 역함수"나 "유사 역함수(pseudo-inverse)"라는 표현을 써서 완전한 역은 아니지만 최대한 원래 값을 복원하는 함수를 가리킵니다. 이런 경우 복원이 얼마나 정확한지는 재구성 오차(reconstruction error)와 같은 지표로 평가하는 것이 일반적입니다.
주의할 점
모든 함수가 역함수를 갖는 것은 아닙니다. 하나의 출력값에 대응하는 입력값이 여러 개라면(예: y=x²에서 y=4를 만드는 x가 2와 -2 두 개) 역함수가 정의되지 않으며, 정의역을 제한해야만 이차함수와 그래프처럼 역함수를 만들 수 있습니다.