이항분포의 평균과 분산 (Mean and Variance of Binomial Distribution)
쉽게 풀면
동전을 100번 던지면 앞면이 평균적으로 몇 번 나올까요? 직관적으로 "확률 2분의 1이니까 50번쯤"이라고 답할 겁니다. 이 직관을 공식으로 만든 것이 이항분포의 평균 np입니다(여기서는 100×0.5=50). 그런데 매번 정확히 50번이 나오는 건 아니고 48번, 53번처럼 흔들림이 있죠. 이 흔들림의 정도를 숫자로 나타낸 것이 분산이며, 공식은 np(1-p)입니다(100×0.5×0.5=25). 성공 확률 p가 0이나 1에 가까울수록(결과가 거의 확실할수록) 분산이 작아지고, p가 0.5에 가까울수록(결과를 예측하기 어려울수록) 분산이 커진다는 점이 이 공식의 핵심입니다.
왜 중요한가
이항분포의 평균과 분산은 단순한 공식 이상으로, 표본에서 관찰된 성공 횟수가 얼마나 신뢰할 만한지 판단하는 출발점 역할을 합니다. 여론조사·임상시험·품질검사처럼 "몇 번 중 몇 번 성공했는가"를 다루는 연구에서는 이 평균과 분산을 바탕으로 신뢰구간, 가설검정, 표본크기 설계가 이루어집니다. 또한 표본이 커질수록 이항분포가 정규분포에 가까워진다는 근사(중심극한정리 적용)의 토대가 바로 이 평균 np와 분산 np(1-p)이기 때문에, 통계적 추론을 다루는 논문 전반에서 반복적으로 등장합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 200번의 독립 시행에서 각각 40%의 확률로 찬성이 나온다고 가정했을 때, 전체 찬성자 수가 평균적으로 80명 근처에 몰리며 그 흩어진 정도(분산)가 48이라는 뜻입니다. 이 값은 이후 신뢰구간 계산이나 정규근사에 그대로 활용됩니다.
품질관리 분야의 예문으로, 불량품 개수가 이항분포를 따른다고 가정한 뒤 그 평균과 분산으로 공정이 정상 범위를 벗어났는지 판단하는 관리한계선(control limit)을 만든다는 내용입니다. 평균과 분산이 공정 이상 여부를 판별하는 기준값 계산에 직접 쓰이는 사례입니다.
임상시험 맥락의 예문으로, 부작용 발생 건수의 분산으로부터 표준오차를 구하고 이를 두 집단 간 차이를 통계적으로 검정하는 데 사용했다는 뜻입니다. 이처럼 분산 공식은 표준오차 계산을 거쳐 가설검정으로 이어지는 경우가 많습니다.
조금 더 깊게 보면
실제 논문에서는 분산 np(1-p) 자체보다 그 제곱근인 표준편차나, 표본 비율의 분산인 p(1-p)/n이 더 자주 등장합니다. 표본 크기 n이 커지면 이항분포는 평균 np, 분산 np(1-p)를 갖는 정규분포로 근사할 수 있다는 것이 이항분포의 정규근사이며, 신뢰구간이나 유의확률(p-value) 계산 대부분이 이 근사에 의존합니다. 또한 관찰된 분산이 이론적으로 기대되는 np(1-p)보다 크게 나타나는 현상(과대산포, overdispersion)이 실제 데이터에서 자주 나타나는데, 이런 경우 이항분포 대신 음이항분포 등 분산을 별도로 조정할 수 있는 모형을 검토하는 것이 일반적입니다.
주의할 점
이 공식은 각 시행이 서로 독립이고 성공 확률 p가 매 시행마다 동일할 때만 성립합니다. 비복원추출처럼 한 번 뽑을 때마다 확률이 바뀌는 상황이라면 이항분포가 아니라 초기하분포를 써야 하며, np, np(1-p) 공식을 그대로 적용하면 틀린 결과가 나옵니다. 기본 개념은 이항분포 문서를 함께 참고하세요.