선택공리 (Axiom of Choice)
한 줄 정의: 공집합이 아닌 집합들의 모임이 주어지면, 각 집합에서 원소를 하나씩 고르는 선택함수가 항상 존재한다고 보장하는 집합론의 공리입니다.
쉽게 풀면
상자가 여러 개 있고 각 상자에 물건이 들어 있다면, 상자마다 하나씩 꺼낼 수 있다는 것은 당연해 보입니다. 하지만 상자가 무한히 많고 고르는 규칙을 말할 수 없을 때는 이것이 다른 공리들로 증명되지 않습니다. 그래서 '고를 수 있다'를 공리로 따로 받아들이는데, 이것이 선택공리입니다.
왜 중요한가
모든 벡터공간에 기저가 있다, 모든 집합은 정렬될 수 있다 같은 많은 정리가 선택공리에 의존합니다. 동시에 바나흐-타르스키 역설처럼 직관에 어긋나는 결과도 낳아 수학기초론의 중요한 논점입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"무한차원 벡터공간의 기저 존재 증명은 선택공리와 동치인 초른의 보조정리를 이용한다."
선택공리가 증명에 쓰이는 대표 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
체르멜로가 1904년 정렬정리 증명에서 명시적으로 사용했습니다. 괴델(1938)은 선택공리를 더해도 ZF가 모순되지 않음을, 코언(1963)은 그 부정을 더해도 모순되지 않음을 보여, 선택공리가 ZF로부터 독립임이 밝혀졌습니다. ZF에 선택공리를 더한 체계를 ZFC라 합니다. 초른의 보조정리, 정렬정리와 ZF 위에서 서로 동치입니다.
주의할 점
유한 개의 집합에서 고르는 것은 선택공리 없이도 증명됩니다. 생화학의 아데닐릴 고리화효소와 영문 약어가 같으므로 약어만으로 쓰지 않는 것이 좋습니다.