절댓값 (Absolute Value)

한 줄 정의: 어떤 수의 부호(양수인지 음수인지)를 무시하고, 0으로부터 얼마나 떨어져 있는지 그 크기만 나타낸 값입니다.

쉽게 풀면

수직선 위에서 어떤 수가 0으로부터 떨어진 거리를 생각해봅시다. +5는 0에서 오른쪽으로 5칸, -5는 0에서 왼쪽으로 5칸 떨어져 있는데, 방향은 다르지만 "떨어진 거리"는 둘 다 5로 같습니다. 이 거리만을 나타낸 것이 절댓값이며 |5| = 5, |-5| = 5처럼 세로 막대(| |) 기호로 표기합니다. 즉 절댓값은 "얼마나 떨어져 있느냐"만 관심 있을 뿐, "어느 방향으로 떨어져 있느냐"는 신경 쓰지 않는 개념입니다.

왜 중요한가

절댓값은 "부호는 무시하고 크기만 본다"는 매우 단순한 발상이지만, 오차·거리·변화량처럼 방향보다 크기가 중요한 상황에서 논문 전반에 걸쳐 반복적으로 등장합니다. 통계와 머신러닝에서는 예측 오차를 측정하는 지표(MAE 등)의 기본 재료로 쓰이고, 최적화 이론에서는 함수의 수렴 여부나 안정성을 판단하는 데 필요한 거리 개념(노름, norm)의 출발점이 됩니다. 이 때문에 절댓값 자체는 간단해 보여도, 이를 어떻게 다루느냐가 모델 평가나 이론 전개의 방향을 좌우하는 경우가 많습니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"예측값과 실제값의 차이를 절댓값으로 변환한 평균절대오차(MAE)를 이용해 모델의 성능을 평가하였다."

이 문장은 예측이 실제보다 높았는지 낮았는지(부호)는 따지지 않고, 오차가 얼마나 컸는지(크기)만을 기준으로 모델의 정확도를 평가했다는 뜻입니다. 오차나 편차처럼 방향보다 크기 자체가 중요한 지표를 만들 때 절댓값이 자주 활용됩니다.

"두 변수 간 상관계수의 절댓값이 일정 기준을 넘는 경우에만 유의미한 관계로 판단하였다."

상관계수는 양의 관계(+)와 음의 관계(-)를 모두 나타낼 수 있는데, 관계의 방향보다 "얼마나 강하게 연관되어 있는가"가 중요할 때는 절댓값을 취해 그 세기만을 기준으로 삼습니다. 사회과학이나 심리학 통계 분석에서 흔히 볼 수 있는 서술 방식입니다.

"반복 연산 과정에서 이전 값과 현재 값의 차이의 절댓값이 허용 오차보다 작아지면 알고리즘이 수렴한 것으로 간주하였다."

수치해석이나 최적화 알고리즘에서는 값이 점점 한 지점으로 가까워지는지를 확인해야 하는데, 값이 위로 접근하든 아래로 접근하든 상관없이 "얼마나 가까워졌는가"만 확인하면 되므로 절댓값을 수렴 판정 기준으로 사용합니다.

조금 더 깊게 보면

절댓값은 수직선 위의 1차원 거리 개념이지만, 여러 차원으로 확장한 개념이 노름(norm)입니다. 예를 들어 벡터의 각 성분에 절댓값을 취해 더한 것을 L1 노름, 제곱해서 더한 뒤 제곱근을 취한 것을 L2 노름이라 부르며, 논문에서 "오차의 절댓값 합" 또는 "오차 벡터의 크기"를 다룰 때 이런 표현이 함께 등장하는 경우가 많습니다. 또한 절댓값 함수는 0인 지점에서 뾰족하게 꺾여 미분이 불가능하다는 특징이 있어, 이 함수를 손실 함수로 쓰는 모델을 최적화할 때는 일반적인 경사하강법을 그대로 적용하기 어렵고, 이를 보완하기 위한 별도의 기법이 논의되기도 합니다.

주의할 점

절댓값을 포함한 방정식이나 부등식을 풀 때는 안의 값이 양수인 경우와 음수인 경우를 나누어 각각 계산해야 합니다. 예를 들어 |x| = 3의 해는 x = 3뿐 아니라 x = -3도 포함되므로, 절댓값 기호를 없앨 때 부호에 따른 경우를 빠뜨리지 않도록 주의해야 합니다.